Sonlu Metrik Uzayların Gromov Çarpımları İleincelenmesi ve Filogenetik Uygulamaları

Abstract

Sonlu metrik uzaylar, sonlu bir X kümesi üzerinde tanımlı bir d uzaklık fonksiyonu ile karakterize edilen uzaylardır. Projede, sonlu metrik uzayların sınıflandırılması ve çizge temsilleri problemlerine Gromov çarpımları vasıtasıyla yeni bir yaklaşım getirilmiş ve filogenetik analiz hesaplarına uygulanmıştır. Sonlu metrik uzaylar, üçgen eşitsizliklerini sağlayan ve negatif olmayan noktalar kümesi ile tanımlanır ve bir polihedral koni oluştururlar. Sonlu metrik uzayların sınıflandırılması, bu kümenin, hipersimpleks bölümlemesi olarak adlandırılan kanonik bir bölümlemesi ile yapılmaktadır. Literatürde, 4,5,6 elemanlı uzaylar için hipersimpleks bölünlemesi bilinmektedir ancak 6 dan büyük elemanlı uzaylar için herhangi bir sonuç bulunmamaktadır. Çalışmamızda, n elemanlı metrik uzayların sınıflandırma problemine, Gromov çarpımı ve dörtgen yapısı yöntemleri ile yaklaşılarak eleman sayısı 6dan küçük uzaylar için için dörtgen yapısı sınıflaması ve eleman sayısı 8 den küçük uzaylar için , için Gromov çarpımı sınıflamaları elde edilmiştir. Biyolojik sistemlerin incelenmesinde bir araç olarak kullanılan filogenetik ağaçlar, bir türün varyantları arasındaki mesafelerden hareketle, birbirleri arasındaki geçişleri ve oluşum aşamalarını temsil eden çizgelerdir. Literatürde, bu çizgelerin ağaç yapısında olduğundan hareketle çeşitli yöntemler geliştirilmiş, ancak ağaç yapısı varsayımının geçerli olmadığı durumlarda zorluklarla karşılaşılmıştır. Projede, ağaç varsayımı yapılmadan, verilen bir ailenin gen/protein yaısındaki dizilimlerden hareketle hesaplanan mesafe fonksiyonları hesaplanmış, sonlu bir metrik uzay olarak Gromov çarpımı ve dörtgen yapıları çıkarılmış, ağaç yapısına sahip olma/olmama ve döngülerin varlığına karar verme konusunda yaklaşıklık kriterleri getirilmiştir.