Explicit solutions of two-variable scattering equations and broadband matching network design

Abstract

Karışık devre elemanı (toplu ve dağıtılmış eleman) içeren devreler mikrodalga mühendisliği için önemli bir konudur (Aksen, 1994). Toplu elemanlar arasındaki bağlantılar, iletim hattı olarak düşünülüp devre elemanı olarak tasarım sırasında denklemlere dahil edilirse, devrenin performansını bozmaları engellendiği gibi aynı zamanda devrenin istenen cevabı vermesi için kullanılmış olurlar. Bu tür devrelerde, iki farklı tipte eleman bulunduğundan, devre fonksiyonları iki değişken kullanılarak tanımlanır. Devrede yer alan toplu elemanlar için $p = \sigma + jw$ klasik frekans değişkeni ve dağıtılmış elemanlar için $\lambda$ = $tanh(p\tau)$ Richards değişkeni şeklinde tanımlanır(burada $\tau$ dağıtılmış elemanlar için gecikmedir). Dikkat edilirse bu iki değişken arasında hiperbolik bir bağımlılık vardır. Dolayısıyla bu tür devrelerin tanımlanmasında transandantal fonksiyonlar kullanılabilir. Fakat p ve $\lambda$ bağımsız değişkenler olarak kabul edilirse karışık elemanlı devreler iki-değişkenli fonksiyonlar kullanarak tanımlanabilir. Literatürde bu tür devreler üzerine birçok çalışma bulunmasına rağmen, bu denklemlerin çözümü için genel bir analitik method henüz bulunabilmiş değildir. Fakat yarı-analitik bir yaklaşım mevcuttur (Aksen, 1994). Bu yaklaşımda, iki-değişkenli saçılma denklemleri kullanılır ve sınırlı devre topolojileri için uygulanabilir durumdadır. Literatürde, bahsedilen yarı-analitik yaklaşım ile düşük dereceli alçak-geçiren birim elemanlarla ayrılmış LC merdiven devreler için bazı kısıtlamalar altında saçılma denklemlerinin çözümleri verilmiştir. Fakat bu tezde, hiç bir kısıtlama olmadan çözülen denklemler kullanılarak, genişbant uyumlaştırma devresi tasarımı yapılmış, elde edilen sonuçlar literatürde verilen denklemler kullanılarak tasarlanan uyumlaştırma devresi sonuçlarıyla karşılaştırılmıştırılaştırılmıştır.

Mixed lumped and distributed element network design has been an important issue for microwave engineers. The interconnections of lumped elements can be assumed to be transmission lines and used as circuit components. Also the parasitic effects and discontinuities can be embedded in the design process by utilizing these kinds of structures. Since these networks have two different kinds of elements, their network functions can be defined by using two variables; for lumped elements and (the Richard variable) for distributed elements, where is the equal delay length of distributed elements. In the earlier studies, since there is a hyperbolic dependence between and , transcendental functions were used to express these kinds of network functions. But then and were assumed as independent variables, the network functions with two variables were used to describe two-port networks with mixed elements. Although there are lots of studies in the literature about mixed element networks, a general analytic procedure to solve transcendental or multivariable approximation problems to design mixed element networks does not exist. But to describe lossless two-ports with mixed elements, there is a semi-analytic technique. In this approach, two-variable scattering functions are used and practical solutions are obtained. But it is applicable for the restricted circuit topologies; LC ladders cascaded with commensurate transmission lines (Unit Elements). In this paper, the complete and explicit equations are derived for lossless low-pass mixed-element topologies, up to 4 elements. Finally, using the new equations a broadband double matching problem is solved.